与在频域内时间序列分析相关的事实有哪些？

与在频域内时间序列分析相关的事实有哪些？

让我们回忆一些与在频域内时间序列分析相关的事实。谱分析(spectral analysis)的基础是傅立叶级数(Fourier series)以及傅立叶变换(Fourier transform)。周期为2t的周期函数x(t)可以表示为一个傅立叶级数,这个级数由可数多个正弦函数和余弦函数构成:

这个级数可以被反求出来，因为其中系数可以通过下列积分形式的公式表示∶

如果 z（t）是平方可积的，它就能表示成傅里叶积分（Fourier integral）的形式∶

上述的傅里叶分析适用于确定性函数x(t)。现假设x(t)是连续时间上的一个单变量平稳随机过程。随机过程是一个路径的集合。由于过程是无限且平稳的，所以其路径并不具有周期性，当时间t趋于无穷时，它们并不趋向于0，它们作为时间的函数不是平方可积的。

考虑信号的功率和功率谱。给定一个平稳序列(信号)，它的能量(即其平方的积分)是无限的，但序列的功率(即能量除以时间)可能趋向于一个有限的极限值。

对于协方差可以建立类似的关系。特别地

如果存在密度

则前面的公式变为∶

这个表达式可以反过来写成∶

如果时间序列是实值的，则∶

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