在股市投资中，什么是样本均值和样本协方差估计量？

在股市投资中，什么是样本均值和样本协方差估计量？

预测证券期望收益和风险的数量化技术大多依赖历史数据。因此，要记住我们暗含地假定了过去可以预测未来。

众所周知，期望收益具有显著的时间变化性（非平稳)，而且现实收益会受到期望收益变化的强烈影响。因而，推测的历史收益对未来收益的预测能力一般是很弱的，或者正如任何一个投资计划书中典型的免责条款所声明的：“过去表现不代表未来表现。”

将预测建立于历史表现上的一个问题就是整个时期市场与经济状况发生了改变。例如，利率发生重大的变化，21世纪初期利率一路从高位的双位数字变化到低利率环境。其他随时间变化并能在很大程度上影响着市场的因素，包括国内外的政治环境、货币和财政政策、消费者信心和不同产业部门和领域的经济周期。

当然，与其他资产相比，我们有理由给予某些资产的由历史数据得到的统计估计量以更多的信任。不同的资产类别有着不同长度的可得到的历史数据。例如，不仅美国和欧洲市场有着更长的历史数据，而且他们的数据也更趋于准确。对于新兴市场，情况是相当不同的。有时仅仅几年的历史数据可以得到。因此，基于输入的质量，我们期望对于某些资产类别能构建比其他类别更精确的估计量。

实践中，如果投资组合经理相信基于一项资产类别的历史表现所得到的输入不是其未来期望表现的好的反映，他们也许会客观或主观地改变输入。明显地，不同的投资组合经理有着不同的理念，因此他们的修正也是不同的。

或者，期望超额收益可 以直接用于均值?方差最优化模型。

不幸的是,对于金融收益序列,样本均值是期望收益的一个很差的估计量。对于不具厚尾的分布来讲,样本均值是总体均值的最佳线性无偏估计量(BLUE)。在这种情况下，样本均值表现出一个重要的性质，即样本容量的增加总会提高它的表现。但是,这些结果在极端厚尾的情况下不再成立,使用时必须十分小心。此外,金融时间序列通常是不稳定的,因此均值不是期望收益的良好预测值。另外,得到的估计量有着较大的估计误差(以标准差测度),其将显著影响均值一 方差投资组合配置过程。因此

等权重的投资组合往往胜过均值一方差最优化投资组合。

均值一方差最优组合有可能没有很好地分散化。

在均值一方差最优化问题中收益的不确定性比风险的不确定性的影响更大。

这些问题必须从不同的视角来解决。应该使用期望收益的更加稳健的或者稳定的较低估计误差的)估计量。一个途径就是对估计量施加更多的结构化限制。最常见的,从业者使用某些形式的因素模型去进行期望收益预测。 另一个可能性是使用贝叶斯方法(例如Black-Litterman模型)或者收缩估计量。

均值一方差最优化对其输入非常敏感。期望收益输入的小小改变往往引起投资组合权重的大幅改变。在一定程度上,这可通过使用更好的估计量来减轻。但是,通过在最优化中考虑估计误差(不管大还是小),可以获得进一步改善。简单地说,问题在于均值一方差优化程序不知道输入参数是统计估计值并且无法知道其确切值。当我们使用经典的均值一方差最优化模型时,我们暗含地假设输入是确定的,并且可以很高的精度获得。换句话说,不好的输入导致更差的结果,或者“投入垃圾,产出垃圾”。第十章讨论处理这些问题的所谓的鲁棒投资组合优化方法。

当 T充分大时，权重（衰减）参数d 可以通过最大似然估计或者样本外预测误差最小化来估计得到。

尽管如此，与期望收益估计量一样，协方差估计量也遭受估计误差的影响，尤其是当历史收益观察值的数量相对于证券数量比较少时。除了独立同分布的时间序列之外，样本均值与样本协方差矩阵对其他时间序列来说都是一个差的估计量。在独立同分布的情况下，样本均值和样本协方差估计量是真实的均值与协方差的最大似然估计量。

在实际中，样本协方差估计量往往表现不佳。例如，Ledoit和Wolf反对在投资组合最优化中使用样本协方差矩阵。他们强调样本协方差阵包含估计误差，其可能在均值一方差最优化中产生扰动并导致差的结果。作为替代，他们建议对协方差估计应用收缩技术。在这一章的后面我们再讨论这些方法。

样本协方差矩阵是一个非参数的（无结构的）估计量。一个选择就是在估计过程中对协方差矩阵的结构设定假设。例如，人们可以加入有关对证券变化具有影响的基本经济变量或因素的信息。这是许多资产定价与因素模型背后的基本思想，我们将会在下一节描述这些模型。这样的模型具有直观性、实用性，并被广泛地被使用。

但是，要记住为任何统计量引入一个结构都需要一定代价。结构化的估计量可能面临设定误差的影响，也就是说，为了准确预测现实，所做的假设可能过于严格。作为解决办法，Jagannathan和Ma提出使用协方差矩阵估计量的组合。他们的思想是“分散化”所有协方差矩阵估计量所遭遇的估计和设定误差。组合估计量往往以一种简单的方式构建：它们是等权重的，并且相比收缩估计量来说，更容易计算。例如，由Jagannathan、Ma、Bengtsson和Holst提出的一个组合估计量就由样本协方差矩阵、单指数矩阵以及仅包括样本矩阵的对角线元素的矩阵的平均值组成。后一个矩阵比完整的资产间协方差矩阵更稳定，因为归因于噪声性数据，样本协方差矩阵经常是不可逆的，一般会导致一个恶化的均值一方差投资组合最优化问题。单指数矩阵是通过假定收益按照夏普经典的单指数因素模型产生而得到一个协方差矩阵的估计量的。其他的组合估计量加入了常相关系数矩阵（一个假定不同资产间相关系数相同的高度结构化的协方差矩阵）。有趣的是，最近的一个利用在纽约证券交易所交易的股票历史数据所进行的针对多个组合与收缩协方差矩阵估计的研究得出结论，协方差矩阵的估计量组合与收缩估计量无可置疑地优于简单的样本协方差矩阵估计量，而在这期间，利用协方差矩阵的简单组合估计量构建的股票投资组合与利用协方差矩阵的收缩估计量构建的股票投资组合之间的表现没有统计上的显著差别，至少在这个特定的数据集中是这样的。一般来说，在将协方差矩阵的任一特殊的估计量用于投资组合管理之前，先针对投资组合经理正在考虑的特定资产类别和数据对它进行检验总是很重要的。

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