让我们演示如何进行PCA分析？主成分分析方法示例有什么？

让我们演示如何进行PCA分析？主成分分析方法示例有什么？

现在让我们演示如何进行PCA分析。采用下列10只股票的月度观察数据:金宝汤、通用动力、太阳微系统、希尔顿、玛丽埃塔、可口可乐、诺斯罗普格鲁曼、水星交互、亚马逊网和联合技术。时间区间为2000年12月到2005年11月。图5.1展示了10只股票收益过程图形。

表 5.1为协方差矩阵。

利用标准差将协方差矩阵标准化，我们得到相关矩阵。表5.2显示了相关系数矩阵。需要注明的是，相关矩阵对角线上的元素都等于1.另外，协方差矩阵中的许多项都接近于零。利用标准差乘积进行标准化使得相同的项变大。

接下来使用协方差矩阵去进行PCA分析。我们需要去计算协方差矩阵的特征值与特征向量，表5.3给出了协方差矩阵的特征向量（表A)和特征值（表B）。

表5.3中的表A里的每一列代表一个特征向量,其对应的特征值列于表B中。特征值按照下降的顺序排列;对应的特征向量在特征向量矩阵中从左到右排列。这样,最左边的特征向量对应于最大的特征值。特征向量并非唯一确定的。事实上,将任何特征向量乘以一个实常数得到另一个特征向量。表5.3中的特征向量是标准化的,其各个分量的平方和等于1。可以很容易地验证,每一列中的项的平方和都等于1。但这仍旧会留下不确定性,因为我们可以改变特征向量的符号而不会影响这种标准化。

正如之前所解释的那样,如果构建的投资组合的权重是特征向量,我们就可以构建10个正交的(也就是不相关的)投资组合。这些正交的投资组合被称为主成分,每个主成分的方差将等于对应的特征值。这样,第一个主成分(也就是与第一个特征值对应的投资组合)将会拥有可能最大的方差,而最后一个主成分(也就是与最后一个特征值对应的投资组合)将会拥有最小的方差。图5.2展示了具有最大和最小方差的主成分。

PCA分析法有趣的是，如果只使用少数的主成分，我们仍可获得一个好的近似。也就是说，我们使用PCA分析法去确定主成分，但我们仅仅使用那些具有较大方差的主成分去作为因素模型的因素。换句话说，我们将最初的序列X关于少数的主成分进行归。在这种方式下，PCA方法实现了维度缩减，因为其允许人们只保留少数的成分。通过选择具有最大方差的成分作为因素，我们可以解释X的总方差中的一大部分。表5.4显示了由数量不断增长的成分所解释的总方差。这样，第一个成分解释了总方差的55.2784%的部分，前两个成分解释了总方差的66.8507%的部分，等等。显然地，10个成分解释了总方差的100%。表5.5中的第二个、第三个和第四个列向量分别显示了太阳微系统公司带有1个、5个和10个成分的收益过程的残差值。成分个数从1变化到5时，其收益很大，但成分个数由5变到10时，其收益就不大了。

我们可以对相关矩阵重复相同的操作。表5.6显示了相关矩阵的特征向量(表A)和特征值(表B)。在协方差矩阵的情形中特征向量是标准化的。

表5.7显示了逐渐增加的成分所解释的总方差。这样第一个成分解释了总方差的30.6522% ,前两个成分解释了总方差的 45.2509%，等等。显然10个成分解释了总方差的 100%。解释能力随着成分数目增加而提高的速度慢于协方差矩阵情形。

在相关矩阵情形中总方差被解释的比例增长要慢于协方差矩阵情形。图5.3显示了带有最大和最小方差的投资组合的图形。在该情形中这两个投资组合间的比率小于协方差情形。

表5.5中的最后三列显示了太阳微系统公司基于相关矩阵的分别带有1个、5个和10个成分的收益过程的残差值。残差值逐步减小，但其下降速率低于协方差矩阵情形。

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