在统计科学中，什么是动态因素模型？

在统计科学中，什么是动态因素模型？

动态因素模型是允许一个资产经理去设定因素和过程本身所具有的动态性的模型。现在动态因素模型在金融经济领域以外具有重要的应用，比如在生态学的研究中。与静态因素模型相比，动态因素模型的发展是最近的事情。现代静态多元因素模型由Thurstone和Hotelling在1930年提出，而直到1977年，Grweke，Sargent和Sims才在计量经济学领域提出了第一个动态因素模型。动态因素模型随后的发展遵循三条线路：(1)在“N有限，T很大（无限大）”情形中平稳过程的动态因素模型；(2)在“N很大（无限大），T很大（无限大）”情形中平稳过程的动态因素模型；（3）单整过程的动态因素模型。关于单整过程的动态因素模型的文献与关于协整的数量众多的文献有部分重叠。

动态性通过三种不同的方式进入因素模型：（1）设定因素的动态性；（2）设定残差项的动态性；（3）允许存在对滞后因素的回归。动态性通常设定为一个自回归过程。考虑具有少数变量和数量趋于无穷大的观察值的一个动态因素模型。这种类型的动态模型是状态空间模型的一个实例，这些模型的估计既可以通过最大似然估计法和Kalman 滤波法来获得，也可以通过频域分析来获得。

Sargent，Sims和Geweke都提出了如下形式的一个动态因素模型：

到目前为止所讨论的动态模型的设定都是经典统计学的设定：固定数量的时间序列和一组数量趋于无穷大的样本。在一系列的文献中，Stock和Watson讨论了使用大量的预测值预测时间序列的问题。这种研究方法被称为从大量预测值中创造扩散指数的方法。提出这种方法是基于是宏观经济学家可观察的大量变量，Stock和Watson观察到在数以百计的时间序列范围内，大量观察到的时间序列的可获得性致使无法使用经典的VAR模型，这样的模型是宏观经济学家为精心挑选的几个变量建模所使用的。他们主张采用一种不同的方法，该方法基于从大量观察到的序列中构建出一定数量的扩散指数。

Stock和Watson引进了一个带有无穷量N和无穷量T的静态因素模型。他们观察到这种模型与带有有限个滞后项的动态因素模型是相容的，但是与带有无限滞后项的动态因素模型不相容。Stock和Watson证明在N和T趋向于正无穷的极限情形，因素可以利用主成分进行估计。因此，任何带有有限个滞后项的动态因素模型都可以写成一个静态的模型并且通过主成分进行估计。

主成分不能将因素从其滞后项中区别出来。Stock和Watson建议利用信息准则来估计因素的数目。该模型用于预测一个变量，它是关于滞后因素的回归，因此不需要去估计因素。他们证明，可行的预测（也就是基于由主成分估计出来的因素的预测）与利用未知的真实因素进行的不可行预测渐近地相同。

Forni，Hallin，Lippi 和Reichlin引入了一个广义动态因素模型，这个模型中，N，T→∞，因素个数Q有限，但允许滞后项个数为无穷。因素假设为标准正交的白噪声过程，同时假设因素载荷关于时间t为常量。其特异成分可能是相关的和自相关的，但是与各阶滞后的因素都不相关。与Stock和Watson文献中所描述的关于扩散指数的模型相比，这个模型的主要差异在于它允许无限个滞后项并施加了常量因素载荷的条件。

考虑收益和特异成分的谱密度矩阵。我们称动态特征值为在每一频率上谱密度的特征值。Forni，Hallin，Lippi和Reichlin假设前Q个动态特征值发散，而特异成分的首个动态特征值一致有界。这些条件是对于一个近似因素模型特征值所假设的条件的动态等价条件。他们通过计算频域内的主成分来估计模型。Forni, Hallin, Lippi和Reichlino 用收敛路径函数N=N(T),T→∞确定了收敛的速度。

迄今为止我们已经讨论了两种估计动态因素模型的研究方法:应用于N很小并且T-00的经典因素模型中的最大似然估计法;在N, T→∞的情况下,应用于Stock和Watson文献中时间范围内的和Forni, Hallin, Lippi和Reichlin文献中频率范围内的主要成分分析法。Doz, Giannone,和Reichlin 将这两种方法统一在一起。他们的论文证明一个动态因素模型可以通过拟最大似然估计法来估计。他们的基本思想是,利用最大似然估计法和Kalman滤波法将动态因素模型作为一个错定的精确因素模型来估计,然后证明误差渐近地消失。

Heaton和Solo"通过引进信噪比率将N较小时和N较大时的方法统一起来。其论文的设定与Stock和Watson 的设定相同,那就是利用较少数量的扩散指数来预测一个变量。他们假设N是固定的,当因素用主成分近似估计时,用信噪比率的函数确定了预测误差的边界。

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