在统计科学中，什么是收益的近似因素模型？

在统计科学中，什么是收益的近似因素模型？

对于大量的收益的横截面数据而言，严格因素模型的假定条件的限制性太强了。在实践中，施加残差项彼此独立的约束条件是不可能的。为了使因素模型适用于市场中观察到的资产收益，我们需要将严格因素模型的某些假定条件放宽。通向一个更现实的因素模型的第一步就是允许残差项具有某些相关性与自相关性。近似因素模型允许残差项存在适度水平的相关性与自相关性。它们也允许因素本身是自相关的。近似因素模型的理论在Chamberlain和Rothschild、Stock和Watson以及Bai的论文中得到了发展。

我们如何定义相关性的一个适度水平？近似因素模型仅仅允许那些非整个市场范围的相关性存在。当我们在不同时间点上检验不同样本时，近似因素模型只承认残差项的局部自相关。该条件保证了当收益的数量趋于无穷大时（也就是当资产数目非常大时）,协方差矩阵的特征值是有界的。

我们将假设残差项的自相关函数衰减为零。在这些模型中收益是局部自相关的，但是如果前后两个时间点之间的时间间隔足够长的话，收益就变为独立同分布变量的序列。这就将具有长期记忆的或单整过程排除在外了。另外，近似因素模型允许残差存在异方差。

因此，我们可以将近似因素模型概括为如下模型：

其中所有的变量是均值为零的平稳变量（我们假设均值已被减去）。我们允许因素服从一个带有有限个数滞后项的自回归模型，并且我们允许残差项是彼此相关的、自相关的甚至存在异方差。所有的这些条件都相当具有技术性，我们推荐读者参阅前文提及的相关参考文献。

近似因素模型理论的两个主要结论需要在这里强调。第一个结论就是PCA方法以协调地应用于大规模的近似因素模型。PCA方法比纯因素分析更容易执行，并且具有将因素表现为投资组合的优点。事实上，主成分是收益的线性组合。

第二个主要结论是在一个大规模的经济里，PCA方法能决定所有的近似模拟真实因素的投资组合。最终得到一组在正交变换下唯一确定的因素。

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