在统计科学中，什么是因素分析与主成分分析？

在统计科学中，什么是因素分析与主成分分析？

统计因素由因素分析决定，在这一节我们讨论因素分析。观测变量为一个给定时间窗口中一个典型的大市场在给定频率下的收益。例如，我们可以观察Russell，1000总体的每日收益。因素虽然不能观测到，但是一定要和模型一起决定。因素分析的结果将为：

因素的一个（多元）时间序列。

残差的一个（多元）时间序列。

因素的协方差矩阵。

每个收益过程的因素载荷。

每个残差项的方差。

因素载荷代表着收益在每个因素上的暴露。我们可以将这些数字用于样本内（回顾性），例如去估计与基金经理业绩相关联的风险。但是，如果要优化一个投资组合，我们就必须将我们的估计量用于样本外（前瞻性）。这意味着我们对风险暴露进行了预测。因此，风险模型还可以用于预测：它们假定因素暴露是稳定的并且在之后的时间里将不发生改变。自然地，这些假定是无根据的，尤其在市场压力（market stress)情况下。

有两种估计因素模型的基本方法：因素分析与主成分分析。首先我们讨论因素分析。假设我们的收益由一个严格的因素模型描述。考虑带有标准（正交化）因素的一个收益的严格因素模型。由于我们总是可以从收益中减去均值，不失一般性，我们做出额外的假设：α=0。如果我们称收益为rt，则模型可以写为：

因素分析过程是一个三步骤的过程：第一步我们估计标准正交化因素的因素载荷和残差的方差。第二步我们估计因素和残差。第三步我们可能会要旋转因素以得到对模型更好的直观理解。

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