在统计科学中，线性因素模型有哪些形式？

在统计科学中，线性因素模型有哪些形式？

线性因素模型具有如下形式∶

我们注意这里的向量x，f和ε是随机向量。例如，一个具有三个变量与两个因素的模型具有如下形式∶

从前面的表达式中我们可以看出为什么这些因素模型被称作静态的：在这个模型中没有任何暗含的动态性。它是对一个多维向量（N维）的一个较低维数的表述（K维）。

给定M个样本，我们可以把这个模型改写为一个明确的回归形式。我们首先将所有的观测值、因素和残差值放在三个矩阵当中，每一行对应于一组观测值：

注意在因素矩阵F中，我们添加了一列1来代表常数项。利用这个记法，我们可以将模型写成如下的回归形式：

例如，给定 5 个样本，前面的三变量二因素模型可以写成如下明确的回归形式：

因素f有可能被观测到或者不能被观测到。如果因素不能被观察到,它们就称为隐藏的潜在因素,或者潜在变量。因素分析以及相关方法,比如主成分分析法,主要考虑隐藏因素的确定。如果因素被给定或者被观察到,一个因素模型就是x关于f的多元回归模型,同时因素分析本身不能再应用。在本章后面我们会描述主成分分析与因素分析的方法。

前面的线性因素模型的一个变形包括了时间相关性:

注意一点，在这个模型里我们有在不同的时间点上的不同变量，我们必须明确声明这些均值与负荷系数是常数。

在这个形式中，线性因素模型包含了时间相关性。一个包含时间相关性的因素模型是一个随机过程模型。如果在不同时间点上的所有变量是独立的并且没有任何动态性，我们可以将时间变量作为独立样本的一个标识，并仍然可以采用静态线性因素模型的概念。

对于收益因素模型的推断，我们仅仅只有这一过程的一次实现可以使用，即来自过去历史中每个时点上的观测数据。在这种情况下，上面的因素模型可以表达为：

但是，考虑到如果进行 Monte Carlo 模拟，我们将模拟得到这些因素与收益的许多可能路径。如果使用 Monte Carlo 方法计算概率，我们就在每个时点上拥有多个独立样本。

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